Útreikningar óvissu á afleiddum stærðum

Engin mæld stærð verður þekkt með fullkominni nákvæmni. Slíkt er einfaldlega eðli mælinga. Mælikvarðinn á það hversu nákvæmt gildi stærðarinnar er, er kallað óvissa gildisins.

En við erum ekki bara að meta óvissur mældra stærða; oft erum við að mæla þessar stærðir til þess að reikna afleidd gildi af þeim. Til dæmis gætum við mælt vegalengd og þann tíma sem það tekur farartæki að ferðast hana til að reikna út hraðann. En varla getum við fengið fullkomlega nákvæma tölu úr tveimur óvissum tölum. Því þurfum við á einhvern máta að meta hver óvissan er á afleiddu stærðinni.

Margir hafa rekist á og jafnvel lært um „hlutfallsóvissur”. Það er góð og gild aðferð til að finna afleiddar stærðir ... í ákveðnum sértilfellum. Það er hins vegar ekki algild regla sem bregst í ákveðnum tilfellum.

Önnur leið er að reikna einfaldlega afleiddu stærðina út frá gildum í jöðrum óvissurammanna. Þetta er svosum "rétt" leið (og gefur sannari mynd í ákveðnum tilfellum) en yfirleitt óþarflega langdregin, og í tilfelli flókins samspils hinna mismunandi stærða, ákaflega ógegnsæ.

Til er einfaldari leið sem byggir á afleiðum og þeirri forsendu að óvissur séu nægjanlega litlar.

Óvissa afleiddar stærðar af einni óvissri breytistærð

Mynd 1: Stærð óvissuramma fallgildisins ræðst af óvissu frumstærðarinnar (\(x_1\) og \(x_1\)) og halla fallsins í þeim punkti.

Byrjum á einföldu falli af einni breytistærð: \(f(x)\). Segjum sem svo að við höfum mælt \(x\), metið óvissu þess, \(\Delta x\), og viljum nú finna óvissu \(\Delta f(x)\). Fyrst óvissan á \(f(x)\) er smá, getum við nálgað hana með örsmæðinni \(df\): \[ \Delta f ≈ df \] Lengjum með \(\Delta x \approx dx\) og fáum: \[ \Delta f \approx \left|\frac{df}{dx}\right| \Delta x \]

Þá sjáum við að sambandið á milli óvissu \(f(x)\) og óvissu \(x\) fæst í gegnum afleiðuna á f m.t.t. \(x\). Algildið kemur til vegna þess að óvissa getur skiljanlega aldrei verið neikvæð.

Á myndinni hér til hægri er þessu lýst myndrænt þar sem snertlar fallsins varpa óvissurömmunum á lóðrétta ásinn.

Sýnidæmi

Tökum \(f(x) = \sqrt{x}\) og finnum óvissu á \(f\) út frá óvissu í \(x\): \[ \Delta f = \left| \frac{df}{dx} \right| \Delta x = \left| \frac{d}{dx}x^\frac{1}{2} \right| \Delta x = \left| \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \right| \Delta x = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \Delta x = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{x}}{x} \Delta x = \frac{1}{2} f(x) \frac{\Delta x}{x} \]

Dæmi

Finndu óvissu á fallgildinu út frá afleiðu fallsins og óvissu frumstærðanna í eftirfarandi dæmum.

1. \(f(x) = a x + b\)
2. \(g(x) = A e^{kx}\)
3. \(h(t) = \frac{1}{2} g t^2 + v t + h_0\)
4. \(i(x) = \textrm{sin}(a x) \)
5. \(j(x) = \textrm{sin}(a x^2) \)
6. \(k(x) = \textrm{sin}^2(a x) \)
7. \(l(x) = r \textrm{sin}(a x) + s \textrm{cos}(b x)\)

Óvissa afleiddrar stærðar af almennt mörgum breytistærðum

Við erum hins vegar sjaldan að reikna út stærðir sem velta bara á einni breytistærð. Jafnvel í dæmi hraða sem falls af vegalengd og tíma höfum við tvær breytistærðir. Við útvíkkum því tilvikið að ofan í fleiri víddir (bætum einni við fyrir hverja auka breytistærð) og skoða breytingu í \(f(x_1,\ldots,x_n)\) út frá breytingu í hverri breytistærð. Heildaróvissan á \(f\) verður þá um það bil summa þeirra: \[ \Delta f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \left|\frac{\partial f}{\partial x_1}\right| \Delta x_1 + \left|\frac{\partial f}{\partial x_2}\right| \Delta x_2 + \ldots + \left|\frac{\partial f}{\partial x_n}\right| \Delta x_n = \sum_{i=1}^n \left|\frac{\partial f}{\partial x_i}\right| \Delta x_i \]

Það kemur hins vegar sjaldan fyrir að allar óvissurnar leggist á eitt og láti reyna á jaðra óvissu \(f\). Með tölfræðilegum aðferðum sem ekki er rúm fyrir hér, má sjá að ef mældu stærðirnar eru óháðar (tengjast ekki hvor annarri) þá fæst að heildaróvissa \(f\) verður þá nær: \[ \Delta f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x_1} \Delta x_1\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x_2} \Delta x_2\right)^2 + \ldots + \left(\frac{\partial f}{\partial x_n} \Delta x_n\right)^2 } = \sqrt{ \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i} \Delta x_i \right)^2 } \]

Við erum hins vegar sjaldan með það margar stærðir að við græðum neitt svakalega á því að nota þessa seinni jöfnu. Einfalda summan er varfærnara mat (stærri óvissurammi) og auðveldari í útreikningi. Látum það því yfirleitt nægja.

Sýnidæmi

Einfalt og gott upphitunardæmi er jafna fyrir hallatölu línu út frá hæð og breidd þess þríhyrnings sem hún myndar. Tökum \(h = \frac{a}{b}\) og finnum óvissu á \(h\) út frá óvissu á \(a\) og \(b\): \[ \Delta h = \left| \frac{\partial h}{\partial a} \right| \Delta a + \left|\frac{\partial h}{\partial b} \right| \Delta b = \left| \frac{\partial}{\partial a} \frac{a}{b} \right| \Delta a + \left|\frac{\partial}{\partial b} \frac{a}{b} \right| \Delta b = \left| \frac{1}{b} \right| \Delta a + \left|-\frac{a}{b^2} \right| \Delta b = \frac{1}{b} \Delta a + \frac{a}{b^2} \Delta b \] Nú getum við notað einfalt og gott trikk sem oft má nota til að einfalda þessa súpu. Tökum fallgildið, \(h\), út fyrir sviga og fáum þá: \[ \Delta h = \frac{a}{b} \left( \frac{1}{a} \Delta a + \frac{1}{b} \Delta b \right) = h \left( \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} \right) \] Munu sumir nú kannast við hlutfallsóvissuna gömlu góðu sem hér birtist sem sértilfelli úr þessari aðferð.

Dæmi

Finndu nú óvissu á fallgildinu út frá afleiðu fallsins í sömu dæmum og að ofan, nema gerðu nú ráð fyrir óvissu á öllum gildunum (a, b, g, o.s.frv.).

1. \(f(x) = a x + b\)
2. \(g(x) = A e^{kx}\)
3. \(h(t) = \frac{1}{2} g t^2 + v t + h_0\)
4. \(i(x) = \textrm{sin}(a x) \)
5. \(j(x) = \textrm{sin}(a x^2) \)
6. \(k(x) = \textrm{sin}^2(a x) \)
7. \(l(x) = r \textrm{sin}(a x) + s \textrm{cos}(b x)\)

Frekara efni

• Propagation of uncertainty