Eðlisfræði 2; Eigintíðni og þvingaðar sveiflur

Inngangur

Eiginsveiflur og þvingaðar sveiflur kerfa koma upp í öllum greinum eðlisfræði og verkfræði. Mikilvægi skilnings á eðli þessarra atriða verður því seint ofmetið. Nemendur kynntust sveiflum af þessu tagi í pendúltirauninni í námskeiðinu Eðlisfræði I.

Það er einkennandi fyrir þessi sveiflukerfi að þar sveiflast orkan sem er í kerfinu á milli tveggja forma (stöðuorku og hreyorku í tilviki pendúls, rafsviðsorku og segulsviðsorku í tilviki ljósbylgju, o.s.frv.). Hér verður fjallað um sveiflur í RCL rafrás og hugtökin hermutíðni, eigintíðni, deyfing, andóf, viðbragðsferill, gæðastuðull og bandbreidd kynnt.

Kynning á hugtökum

Eiginsveiflur RCL rásar

Mynd 1: RCL rás örvuð með kassabylgju \(V_s\).

Um spennufall í raðtengdri RCL rás, eins og sýnd er á mynd 1, gildir samkvæmt lögmáli Kirchoffs, \[ V_s = V_L +V_C +V_R \qquad (1) \] þar sem \[ V_L = L \frac{dI}{dt} \quad V_C = \frac{1}{C} \int I\, dt \quad V_R = IR \qquad (2) \]

Örvun með kassabylgju þar sem \(V_s\) er snögglega breytt úr \(Vs = 0\) í \(V_s = V_{s0}\) við \(t = 0\) gefur svipullausn á diffurjöfnunni (1) sem hefur formið \[ I = \frac{V_{s0}}{\omega_e L} e^{-bt}\textrm{sin}\omega_e t \quad, \quad t \gt 0 \qquad (3) \] þar sem deyfingarstuðullinn \(b\) er gefinn með \[ b = \frac{R}{2L} \qquad (4) \] og eigin-(horn)tíðnin \(\omega_e\) með \[ \omega_e^2 = \omega_0^2 - b^2, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \qquad (5) \] Eigintíðni kerfisins stjórnast því ekki aðeins af stærðunum \(L\) og \(C\) heldur einnig af viðnáminu \(R\). Ef \(R\) er stillt þannig að \(\omega_e\) stefni á 0 þá stefnir stærðin \(\textrm{sin}(\omega_e t)\) á \(t\) og straumurinn sveiflast ekki lengur (fer ekki í gegnum núll-punktinn). Þá er fengin markdeyfing með stuðulinn \(b\). \[ 4L b2 = 2 m 0 2 Rm = (6) \]

2.2 Þvingaðar svefliur

2.2.1 Andóf

Fyrir hreintóna örvun þ.e. Vs = Vs0 eit nægir að skoða stöðugar lausnir og horfa framhjá svipullausnum sem dofna með tíma eins og sást í fyrsta liðnum um eiginsveiflur. Lausnir á (1) verða I = I0 ei(t) (7) þar sem er örvunartíðnin og er fasamunur straums og örvunarspennu. Með þessu formi má einfalda jöfnur (2) til muna og skrifa sem: 1 VL = iL · I VC = ·I VR = R · I (8) iC Með þessarri umskrift eru bæði VL og VC komin á ohmskt form; VL = ZL I og VC = ZC I. Andóð ZX er tvinntala sem er háð tíðninni og fasahorn þess lýsir fasamun á milli straums og spennu yr íhlutinn. Jöfnu (1) sem í grunninn er tímarúmsjafna má nú umrita á form sem lýsir hvernig I hegðar sér í tíðnirúminu. 1 Vs = (iL + + R)I() = Z()I() (9) iC 1 Z() = R + i(L ) = ZR + ZL + ZC (10) C Andóð Z fyrir þessa þrjá raðtengdu íhluti er því summa þriggja liða; raunhlutans R og þver- hlutanna L og 1/C. Stærð I() ákvarðast af hlutfallinu I0 = |I| = |Vs |/|Z| Vs0 I0 = (11) 1 R2 + (L C )2 og fasahorn milli örvunarspennu og straums ræðst af fasahorni Z. Af jöfnu (10) má lesa að |Z| í mörkunum 0 og . I0 sem er í réttu hlutfalli við 1/|Z| stefnir því á 0 í þessum sömu mörkum. I0 verður stærst við minnsta gildi á Z, sem fæst þegar þverhlutinn Im(Z) = 0; við hermutíðnina 0 = 1/ LC. (12) Hágildi straumsins I0 () verður I0max = Vs0 /R. Fasamun örvunarspennu og straums er lýst með L 1/C = arg(Vs ) arg(I) = arg(Z) = arctan (13) R Í mörkunum 0 og stefnir á /2 annarsvegar og +/2 hinsvegar. Í fyrri mörk- unum er það þéttirinn C sem stjórnar hegðun rásarinnar en spólan L í þeim seinni. Við hermu- tíðnina 0 er L C = 0, svo að fasahornið verður = 0, þ.e. rásin er ohmsk, örvunarspenna 1 og straumur eru í fasa.

2.2.2 Orkubúskapur

Raunhluti jöfnu (9) sinnum raunhluti straumsins (sbr. P = V I) gefur jöfnu sem lýsir orkuæðinu (ainu) milli íhlutanna sem mynda rásina. 1 Re{I}Re{Vs } = I0 R cos2 (t ) + 2 L sin(t ) cos(t ) (14) C Vinstra megin jafnaðarmerkisins er liður sem lýsir orkuæði til og frá sveiflugjafanum. Fyrsti liður hægra megin jafnaðarmerkis er ávallt jákvæður eða núll og lýsir Joule-hitun í viðnáminu (R). Annar og þriðji liður, sem hafa andstæð formerki, lýsa orkuæði til og frá spólu (L) og þétti (C). Þegar orkustraumurinn liggur frá segulsviði spólunnar eykst orkuinnihald rafsviðsins í þéttinum, og öfugt. Við hermutíðnina jafna annar og þriðji liður hvorn annan út og orkan sem bundin er í rásinni sveiflast milli spólu og þéttis. Frá sveiflugjafa streymir þá aðeins það sem nemur orkutapi í viðnáminu. Þegar tíðnin er frábrugðin hermitíðninni rúma spóla og þéttir ekki jafn mikla orku svo að orkustreymið verður bæði til og frá sveiflugjafanum. Við hermutíðnina er vel skilgreindur orkuskammtur U0 bundinn í rásinni og sveiflast milli spólu og þéttis. 1 2 U0 = LI0 (15) 2 Í hverri sveiflu tapast orkan 2 Z T0 U 2 = I0 R cos2 0tdt = I R. (16) 0 0 0 2 Hér er T0 sveiflutíminn, T0 = 0 . Við skilgreinum kennistærð fyrir rásina, svokallaðan gæðastuð- ul Q, sem hlutfall orkunnar sem rásin geymir við hermutíðnina og meðalorkutaps á einum radí- ana í sveiflunni. 2U0 0 L Q = (17) U R Með þessari kennistærð getum við umritað jöfnu (11) á form sem er hentugra til túlkunar á mældum viðbragðsferlum. Vs0 1 I0 = (18) R 1+Q 2 [ 0 ]2 0 Jafna (18) sýnir viðbragð rásarinnar við áreitinu Vs0 við tíðnina . Viðbragðið er stærst við hermutíðnina 0 , en fellur svo til beggja hliða. Látum stærðirnar ± tákna þau tíðnigildi sem gefa svörun sem er 1/ 2 af hágildinu við hermutíðnina. Þessi tíðnigildi þurfa að fullnægja jöfnunni ± 0 1 = (19) 0 ± Q Nálgunarlausnirnar, fyrir Q 1, eru á forminu ± 1 + 1 1± = = (20) 0 2Q 0 0 Q Þá má einnig lesa úr sumum jöfnunum hér að framan að samband stærðanna ± við fasann fæst með (± ) = ± (21) 4 Gæðastuðullinn Q stjórnar því bæði lögun viðbragðsferilsins og fasaferilsins. Stærðin kall- ast bandbreidd svörunarinnar.

3 Tilraun

3.1 Eiginsveiflur RCL rásar

Stillið upp RCL rás eins og sýnt er á mynd 1. Veljið C=40nF, L=100mH, Vs0 1V og f =100Hz (kassabylgju). Tengið spennumerkið Vs inn á aðra rás sveiflusjárinnar og VR inn á hina. Veljið gildi á R þannig að sveiflan sé fallin í 10% af upphafsgildi þegar kassabylgjan sparkar næst í rásina. Mælið valda punkta á ferlinum VR (t) sem gefa upplýsingar um stýristærðirnar b og . Stillið upp jöfnum sem tengja þessar stýristærðir við mældar stærðir og nnið gildi þeirra. Finnið viðnámsgildi sem gefur markdeyngu. Bráðabirgðaúrvinnslu og túlkun á þessum mælingum skal gera á staðnum strax eftir mælingar og bera niðurstöður undir kennara til að forðast misskilning og rangtúlkun. 3.2 Þvingaðar sveiflur Notið rásina frá fyrri lið en pumpið hana nú með sínus sveiflum. Stillið ytra viðnámið á R=200. Byrjið á að nna hermutíðnina.

Mælið hvernig \(V_R\) og fasamunur \(V_R\) og \(V_S\) hegða sér sem fall af \(f\) á bili sem sýnir viðbragðsferilinn nægilega vel.

Þetta eru seinlegar mælingar svo hér skal halda vel á spöðunum. Lesið hermutíðni, bandbreidd og Q-gildi úr bæði spennu- og fasamæligögnum, og berið saman við líkön.

Tilvísanir

Young & Freedman: University Physics, kaflar 13, 30 og 31.
Ohanian: Physics, kaflar 15, 27, 32, 34.
Leó Kristjánsson og fl.: Fylgikver um Eðlisfræði II, kafli 9.

Gagnlegt?

Ítarefni

Theory of series resonant circuits
AC circuits: alternatigin current electricity (ágætar hreyfimyndir)
Alternating currents
Parallel RLC Circuit analysis (hliðtengd rás sem hagar sér öðruvísi en er áhugaverð til samanburðar).
Series RLC Circuit Analysis