Tilraun Ý E­lisfrŠ­i B: Pend˙ll

Spurningar

═ ■essari tilraun ver­ur sveiflutÝmi pend˙ls mŠldur me­ tveimur mismunandi mŠlitŠkjum. Me­ ■vÝ ver­a ßhrif ˇvissu mŠlitŠkja sko­u­ og hva­a aflei­ingar ■a­ hefur fyrir ■Šr ßlyktananir sem draga mß af mŠlingunum.

Inngangur

Pend˙ll er einfalt aflfrŠ­ilegt kerfi ■ar sem lˇ­ sveiflast Ý sveigjanlegum streng um fastan upphengipunkt. LÝkan af ■essu kerfi ver­ur enn einfaldara ef vi­ lÝtum framhjß vi­nßmskr÷ftum og gerum rß­ fyrir a­ lˇ­i­ sÚ punktmassi og strengurinn massalaus. Vi­ ■essa einf÷ldun fŠst a­ lota sveiflunnar ver­ur ˇhß­ massa lˇsins og a­eins lÝtillega hß­ ˙tslagi sveiflunnar. Pend˙llinn skipar mikilvŠgan sess Ý aflfrŠ­inni vegna ■essara tveggja eiginleika. Fyrir daga rafeindaklukkunnar var pend˙llinn grunneining Ý flestum klukkum.

HreyfilÝk÷n

Hreyfingu pend˙ls Ý ■yngdarsvi­i er lřst me­ diffurj÷fnunni

\[ m \frac{d^2}{dt^2}\left(L\theta(t)\right) + m g \mathrm{sin}(\theta(t)) = 0 \label{medmassa} \]

■ar sem \(m\) er massi lˇ­sins, \(\theta\) st÷­uhorn strengsins mi­a­ vi­ jafnvŠgispunkt (lˇ­rÚtt), \(L\) lengd pend˙lsins og \(t\) er breytistŠr­ fyrir tÝmann. Ůessi jafna byggir ß ÷­ru l÷gmßli Newtons. Firsti li­urinn er massi sinnum hr÷­un og annar li­urinn lřsir lokakrafti ß lˇ­i­ Ý hreyfistefnuna. Lokakrafturinn er mynda­ur af lˇ­rÚttum ■yngdarkrafti og ßtaki strengsins upp a­ sn˙ningspunktinum.

Ůar sem stŠr­in \(m\) er sameiginleg bß­um li­um Ý j÷fnu \ref{medmassa} mß deila ■essari stŠr­ ˙t og jafnan ver­ur ˇhß­ massanum. Me­ lÝtilshßttar umskrift fŠst

\[ \frac{d^2}{dt^2}\theta(t) + \frac{g}{L} \mathrm{sin}(\theta(t)) = 0 \label{anmassa} \]

Vi­ getum leyst ■essa diffurj÷fnu ß tvennan hßtt:

LÝkan 1
Gerum ■ß nßlgun a­ \(\theta \approx \mathrm{sin}(\theta)\) en ■ß ver­ur diffurjafnan au­leysanleg. Ůetta gildir ■egar \(\theta\) er nˇgu lÝti­.
LÝkan 2
Me­ einf÷ldu brag­i mß umrita diffurj÷fnuna yfir ß form sem gefur sveiflutÝmann sem leysanlegt heildi sem gefur sveiflutÝmann sem ˇendanlega r÷­.

LÝkan 1

Me­ nßlguninni fŠst jafnan ß formi­

\[ \frac{d^2}{dt^2} \theta(t) + \frac{g}{L} = 0 \]

sem er jafna hreins sveifils og hefur hina einf÷ldu lausn:

\[ \theta(t) = \Theta \mathrm{sin}(\omega_0 t) \]

■ar sem \(\Theta\) er hßmarks˙tslag pend˙lsins (ef tÝminn hefst ■egar pend˙llinn er Ý ystu st÷­u). StŠr­in \(\omega_0\) lřsir horntÝ­ni sveiflunnar og hefur gildi­

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{L}} \]

Tengsl horntÝ­ninnar vi­ lotuna \(T_0\) eru gefin me­ \(2\pi/T_0\) svo lotan er gefin me­

\[ T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{g}{L}} \]

SamkvŠmt ■essu lÝkani er lotan ■vÝ ˇhß­ hvort tveggja massa og ˙tslagi pend˙lsins, og rŠ­st einungis af lengd hans og ■yngdarhr÷­uninni.

LÝkan 2

Heildi­ sem fŠst me­ ß­urnefndu brag­i gefur lotuna \(T\) sem veldar÷­ Ý stŠr­inni \(\mathrm{sin}^2\frac{\Theta}{2}\) ß forminu

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{g}{L}} \left[ 1 + \frac{1}{4} \mathrm{sin}^2\frac{\Theta}{2} + \frac{1}{64} \mathrm{sin}^2\frac{\Theta}{2} + \ldots \right] \]

HÚr glittum vi­ gamlan vin sem vi­ getum skipt inn fyrir Ý j÷fnunni a­ ofan sem einfaldast ■ß a­eins:

\[ T = T_0 \left[ 1 + \frac{1}{4} \mathrm{sin}^2\frac{\Theta}{2} + \frac{1}{64} \mathrm{sin}^2\frac{\Theta}{2} + \ldots \right] \]

Vi­ sjßum ■vÝ a­ ■etta LÝkan 2 passar vi­ nßlgunina Ý LÝkani 1; ef horni­ er lÝti­ ver­ur sveiflutÝminn sß sami.

Enn er lotan ˇhß­ massanum en n˙ hefur ˙tslag pend˙lsins ßhrif. StŠr­ ˙tslagsins og nßkvŠmni mŠlitŠkjanna rŠ­ur ■vÝ hversu margra li­a vi­ ■urfum a­ taka tillit til.

MŠlingar

  1. Safni­ g÷gnum til a­ reikna lÝkangildi lotunnar \(T_0\).
  2. MŠli­ lotu pend˙lsins me­ skei­klukku fyrir nokkur gildi ˙tslags ß bilinu \(\Theta = 5^\circ \ldots 30^\circ\). Velji­ fj÷lda lota sem nota­ar eru Ý mŠlingunni og r÷ksty­ji­ ßkv÷r­unina.
  3. MŠli­ lotu pend˙lsins me­ ljˇshli­i og rafeindaklukku fyrir nokkur gildi ˙tslags ß bilinu \(\Theta = 5^\circ \ldots 30^\circ\).

┌rvinnsla

Beri­ mŠlingar ß lotunni saman vi­ einfaldasta lÝkan sem mŠliˇvisa gefur tilefni til a­ nota.

Heimildir

  1. Ari Ëlafsson, Pend˙ll, verkse­ill Ý nßmskei­inu E­lisfrŠ­i B. 2004. E­lisfrŠ­iskor.
  2. Ragnar Sigur­sson, Fyrirlestrar um aflei­uj÷fnur, fourier-greiningu og tvinnfallagreiningu, Kafli 1, sřnidŠmi 1.1.3 (bls. 3) og 1.2.4 (bls 10). 2004. Hßskˇla˙tgßfan.
  3. Ari Ëlafsson, Vi­auki vi­ verkse­li. Sˇtt 2012.09.3.