Tilraun í Eðlisfræði B: Pendúll

Spurningar

• Hvað er pendúll? Nefndu dæmi um pendúl utan skólastofunnar/í daglega lífinu.
• Hvor hefur styttri sveiflutíma: 100 g eða 200 g pendúll?
• Hvort líkanið í vinnuseðlinum er nákvæmara?
• Diffrið m.t.t. x:
  1. sin(x)
  2. x²
  3. (sin(x))²
• Hvað er óvissa?
• Hvað er besta lína?
• Er Higgseindin til?

Í þessari tilraun verður sveiflutími pendúls mældur með tveimur mismunandi mælitækjum. Með því verða áhrif óvissu mælitækja skoðuð og hvaða afleiðingar það hefur fyrir þær ályktananir sem draga má af mælingunum.

Inngangur

Pendúll er einfalt aflfræðilegt kerfi þar sem lóð sveiflast í sveigjanlegum streng um fastan upphengipunkt. Líkan af þessu kerfi verður enn einfaldara ef við lítum framhjá viðnámskröftum og gerum ráð fyrir að lóðið sé punktmassi og strengurinn massalaus. Við þessa einföldun fæst að lota sveiflunnar verður óháð massa lósins og aðeins lítillega háð útslagi sveiflunnar. Pendúllinn skipar mikilvægan sess í aflfræðinni vegna þessara tveggja eiginleika. Fyrir daga rafeindaklukkunnar var pendúllinn grunneining í flestum klukkum.

Hreyfilíkön

Hreyfingu pendúls í þyngdarsviði er lýst með diffurjöfnunni

þar sem \(m\) er massi lóðsins, \(\theta\) stöðuhorn strengsins miðað við jafnvægispunkt (lóðrétt), \(L\) lengd pendúlsins og \(t\) er breytistærð fyrir tímann. Þessi jafna byggir á öðru lögmáli Newtons. Firsti liðurinn er massi sinnum hröðun og annar liðurinn lýsir lokakrafti á lóðið í hreyfistefnuna. Lokakrafturinn er myndaður af lóðréttum þyngdarkrafti og átaki strengsins upp að snúningspunktinum.

Þar sem stærðin \(m\) er sameiginleg báðum liðum í jöfnu \ref{medmassa} má deila þessari stærð út og jafnan verður óháð massanum. Með lítilsháttar umskrift fæst

Við getum leyst þessa diffurjöfnu á tvennan hátt:

Líkan 1

Gerum þá nálgun að \(\theta \approx \mathrm{sin}(\theta)\) en þá verður diffurjafnan auðleysanleg. Þetta gildir þegar \(\theta\) er nógu lítið.

Líkan 2

Með einföldu bragði má umrita diffurjöfnuna yfir á form sem gefur sveiflutímann sem leysanlegt heildi sem gefur sveiflutímann sem óendanlega röð.

Líkan 1

Með nálguninni fæst jafnan á formið

sem er jafna hreins sveifils og hefur hina einföldu lausn:

þar sem \(\Theta\) er hámarksútslag pendúlsins (ef tíminn hefst þegar pendúllinn er í ystu stöðu). Stærðin \(\omega_0\) lýsir horntíðni sveiflunnar og hefur gildið

Tengsl horntíðninnar við lotuna \(T_0\) eru gefin með \(2\pi/T_0\) svo lotan er gefin með

Samkvæmt þessu líkani er lotan því óháð hvort tveggja massa og útslagi pendúlsins, og ræðst einungis af lengd hans og þyngdarhröðuninni.

Líkan 2

Heildið sem fæst með áðurnefndu bragði gefur lotuna \(T\) sem veldaröð í stærðinni \(\mathrm{sin}^2\frac{\Theta}{2}\) á forminu

Hér glittum við gamlan vin sem við getum skipt inn fyrir í jöfnunni að ofan sem einfaldast þá aðeins:

Við sjáum því að þetta Líkan 2 passar við nálgunina í Líkani 1; ef hornið er lítið verður sveiflutíminn sá sami.

Enn er lotan óháð massanum en nú hefur útslag pendúlsins áhrif. Stærð útslagsins og nákvæmni mælitækjanna ræður því hversu margra liða við þurfum að taka tillit til.

Mælingar

1. Safnið gögnum til að reikna líkangildi lotunnar \(T_0\).
2. Mælið lotu pendúlsins með skeiðklukku fyrir nokkur gildi útslags á bilinu \(\Theta = 5^\circ \ldots 30^\circ\). Veljið fjölda lota sem notaðar eru í mælingunni og rökstyðjið ákvörðunina.
3. Mælið lotu pendúlsins með ljóshliði og rafeindaklukku fyrir nokkur gildi útslags á bilinu \(\Theta = 5^\circ \ldots 30^\circ\).

Úrvinnsla

Berið mælingar á lotunni saman við einfaldasta líkan sem mælióvisa gefur tilefni til að nota.