Hér finnið þið svo OPD skyggnusýninguna (og útgáfu 0.5).

Koch snjókornið

Við byrjum á því að festa nokkra pappírsrenninga saman til að við getum teiknað upp sæmilega stórt snjókorn með mörgum ítrunum. Upphafsþríhyrningur með þriggja metra hliðarlengd verður þá að sentimetra í fimmtu ítrun en það verða alls 768 þríhyrningar í því skrefi. Því ættum við þó að geta náð á nokkrum mínútum ef fólk flýtir sér nokkuð og nægur fjöldi tússpenna er til staðar.

Koch snjókornið er dæmi um einn flokk brota sem ráðast af einföldum ítrunarreglum. Fleiri dæmi eru um slíkt, til að mynda Sierpinski fletir, Menger svampurinn, Cantor mengið og drekaferillinn.

Mandelbrot mengið

Önnur aðferð til að búa til brota er að skilgreina ítrunarformúlu þar sem ferillinn myndar jaðar mengis þeirra punkta sem gefur takmarkaða röð þegar formúlan er ítruð. Mandelbrot mengið er dæmi um slíkt mengi. Ítrunarformúla þess er ákaflega einföld: zn+1=zn2+c en ferillinn óendanlega flókinn — í orðsins fyllstu merkingu.

Myndin hér að neðan er í raun bara í tveimur litum: blár þar sem runan er ótakmörkuð en svartur þar sem hún er takmörkuð. Hinir litirnir lýsa því hins vegar hversu þétt smáatriðin á jaðrinum eru. Hér má svo sjá skemmtilegt myndband þar sem skrunað er inn á jaðarinn. Athugið sérstaklega sjálfseinslögunina sem birtast æ ofan í æ á sífellt minni skölum.

Hér að neðan eru einnig nokkrir aðrir brotar, tvö Julia mengi og svo brennandi-skips brotinn (í raun bara hluti af honum).

Brotalandslag

En eru þetta bara stærðfræðileikir eða er eitthvert gagn hér að? Stutt spurning: Hvar eru þessi landslög hér fyrir neðan?

Þótt raunveruleg séu, eru þau reyndar hvergi.

Eitt fyrsta dæmið um notkun á brotum var við sjálfvirka myndun landslags. Þetta var í byrjun tölvualdarinnar og reiknigeta tölva nokkuð af skornum skammti miðað við hvað nú er. Í stað þess að hlaða inn myndum í þrívídd datt tölvunarfræðingi einum sem vantaði bakgrunn fyrir tölvugerðan myndbandsbút af nýjum hönnunum flugvéla í hug að lýsa landslaginu með brotum sem skilgreindur væri sjálfvirkt.

Í grófum dráttum er svæðinu fyrst skipt upp í þríhyrning í þrívíðu rúminu. Honum er svo aftur skipt í þríhyrninga og í hverju skrefi er nýjum punktum hnikað um eitthvað slembið (e. random) gildi. Galdurinn liggur svo í því að stilla hversu gróft landslagið er á hverjum stærðarskala en það er gert með því að stilla hversu langt frá gamla þríhyrningnum nýju gildin mega færast.

Annars hafa fundist margvísleg not fyrir brota. Loftnetum má koma fyrir í farsímum með því að laga þau eins og brota en með því verða þau einnig næm fyrir breiðara tíðnibandi merkja. Brotar eru svo einnig notaðir við greiningu á netsamskiptum og í gangráða.

Brotar í náttúrunni

En hví virkar þetta? Jú, náttúran ber í sér marga eiginleika brota enda óþarfi að finna upp á fleiri en einni aðferð til að leysa svipuð eða sama verkefni á mismunandi stærðarskölum. En það er merkilegt að sjá hversu nytsamlegar einfaldar reglur eru á svo mörgum skölum — hvort tveggja í hinum ólífræna sem hinum lífræna heimi.

Ítarefni